几何相机模型 — Imatest Documentation

定义

学期	定义	笔记
后置摄像头模型	将二维图像点转换为三维光线的几何相机模型。	与前向相机模型方向相反。这有时被称为“反向相机模型”。我们不选择使用这个术语，因为您可以反转前向或后向相机模型。
相机相对世界点	相机参考系中的一个世界点。
径向畸变中心	图像中存在一个点，其畸变围绕该点呈径向对称分布。
中央摄像机模型	一种几何相机模型，其中所有光线都通过一个点。	对非中心相机模型的补充。
失真	与针孔相机模型的偏差。
外在因素	几何相机模型的一部分，用于描述物体在世界坐标系中的位置和方向。	另见：姿势。
前置摄像头模型	将 3D 世界点转换为 2D 图像点的几何相机模型。	与后置摄像头模型相反的方向。
几何相机模型	描述相机几何特性的模型。	这有时被称为“几何标定模型”。几何相机模型由外参、内参和畸变组成。
全球世界点	全球参考系中的一个世界点。
图像坐标系	描述图像点的基础。	请参阅图像坐标系统文档。
像点	描述焦平面上二维位置的有序数对 (x, y)。	图像点是在图像坐标系中定义的。
内在因素	几何相机模型的一部分，用于描述相机的内部几何属性。
非中央摄像头模型	一种几何相机模型，其中光线不经过单个点。	对中心相机模型的补充。入射光瞳位置非固定的相机表现出非中心行为。
针孔相机模型	一种模拟针孔相机的几何相机模型。
姿势	物体相对于某个世界坐标系的位置和方向。	另见：外在因素。
要点	焦平面上与光轴相交的像点。
世界点	描述世界坐标系中三维位置的有序三元组 (X, Y, Z)。
世界坐标系	描述世界点的基础（坐标顺序、原点、正位置方向、正旋转方向）。

符号

所有向量均为列向量。大写，，和指三维世界点。小写字母大写字母和参考二维图像点。

齐次坐标

齐次坐标是一组具有透视几何有用性质的坐标[1] [2] ：

无穷大可以用有限值来表示。
旋转和平移可以用单个矩阵运算表示。
齐次坐标可用于任意维度的空间，包括二维（图像）坐标和三维（世界）坐标。

所谓“标准”坐标系，是指非齐次坐标系。

特性

当且仅当齐次坐标的最后一个坐标为 0 时，该坐标才位于无穷远处。
当且仅当齐次坐标的最后一个坐标不为 0 时，该坐标才位于有限位置。
两个齐次点相同当且仅当它们之间存在非零标量乘子，即。

转换

从非均匀到均匀

将非齐次坐标转换为齐次坐标的最简单方法是在坐标末尾添加 1。

一般的转换方法是在所有元素后加 1，并将所有元素乘以任意非零实数（或者）。

从均质到非均质

要将齐次坐标转换为非齐次坐标，将所有分量除以最后一个分量，并将最后一个分量舍弃。

内在因素

本征矩阵，是一个上三角矩阵，它将相对于相机的世界坐标系转换为齐次图像坐标系。内参矩阵有两种通用且等价的形式：

在哪里

多变的	描述
	x焦距
	y轴焦距
	焦距比
	倾斜
	主点（光轴与焦平面的交点）

固有矩阵^摄像机应用于^相对于相机的 3D 点生成均匀图像点。

笔记：

焦距以像素间距为单位，以便创建单位相互抵消的相似三角形。
主点是在图像坐标系中定义的。

相机型号

概括

模型	前向操作顺序	最大视野	失真选项	中心性	参考	引入
简易针孔	外在因素 → 内在因素	<180°	没有任何	中央	[1] [2]	Imatest 25.2
OpenCV	外在因素 → 失真 → 内在因素	<180°	径向、切向、薄棱柱、倾斜	中央	[3]	Imatest 25.2
OpenCV 鱼眼	外在因素 → 失真 → 内在因素	<180°	多项式	中央	[4]	Imatest 26.1
针孔 + 畸变	外在因素 → 内在因素 → 失真	<180°	参见扭曲	中央	[1] [2] [5]	Imatest 26.1

简易针孔

简单针孔模型的前进方向是：外在因素→内在因素。

OpenCV模型的前向方向由下式给出：

变换相对于相机的世界点通过相机内部矩阵：
转换为非均匀图像点

OpenCV

OpenCV 相机模型[3]由 OpenCV 库定义。Imatest 中使用的是 OpenCV 4.12.0 版本。

OpenCV 模型的前向方向是：外参 → 失真 → 内参。

OpenCV模型的前向方向由下式给出：

变换相对于相机的世界点变成一个无畸变的图像点：
计算半径，：
应用径向畸变：
应用切向畸变：
应用薄棱镜畸变：
应用倾斜畸变（并转换回非均匀图像坐标）：
应用内在逻辑：

OpenCV 鱼眼

OpenCV 鱼眼相机模型[4]由 OpenCV 库定义。Imatest 中使用的是 OpenCV 4.12.0 版本。

OpenCV 模型的前向方向是：外参 → 失真 → 内参。

OpenCV模型的前向方向由下式给出：

变换相对于相机的世界点进入一个标准化的世界点：
计算半径，：
计算角度，：
应用鱼眼畸变效果：
计算归一化后的畸变图像点：
应用二维内参将归一化后的畸变图像点转换为畸变图像点：

笔记

步骤 1-3 中计算角度的方法将此模型的视场角限制为 180°。
Imatest 中使用的内参形式与 OpenCV 文档中内参的应用（步骤 6）有所不同：倾斜角直接乘以 y 分量，而不是倾斜角和焦距乘以 y 分量。当倾斜角为 0 时，这种差异没有影响。

针孔 + 畸变

针孔+畸变模型是摄影测量学中的“经典”相机模型。

针孔+畸变模型的前进方向是：外在因素→内在因素→畸变。

针孔+畸变模型的正向方向由下式给出：

投影相机相对世界点通过内参矩阵获得均匀无畸变的图像点
将均匀无畸变图像点转换为非均匀无畸变图像点
应用畸变模型将非均匀、未畸变的图像点转换为畸变的图像点。

失真模型

失真模型：通用

通用失真模型将未失真的图像点转换为失真的图像点。

可用的失真模型如下：

模型	径向	切线	参考	引入
布朗-康拉迪	是的	是的	[5]	Imatest 26.1
没有任何	不	不		Imatest 26.1
径向	是的	不	[5]	Imatest 26.1

畸变模型：布朗-康拉迪模型

Brown-Conrady畸变模型包括径向分量和切向分量。

正向模型由下式给出：

在哪里：

是径向畸变的中心

笔记：

Imatest 中使用的 Brown-Conrady 模型是前向（图像形成/应用畸变）方向。
切向系数的排序（ Imatest 中使用的是“摄影测量”指令。

失真模型：无

“无失真”模型不施加任何失真。

正向模型由下式给出：

畸变模型：径向

径向畸变模型关于畸变中心呈径向对称。

正向模型由下式给出：

在哪里

是径向畸变的中心

是一种径向畸变模型

可用的径向畸变模型如下：

模型	参考）	引入
除法多项式	[5]	Imatest 26.1
没有任何		Imatest 26.1
多项式	[5]	Imatest 26.1

径向畸变模型：除法多项式

正向模型由下式给出：

径向畸变模型：无

正向模型由下式给出：

径向畸变模型：多项式

正向模型由下式给出：

参考

R. Hartley 和 A. Zisserman， 《计算机视觉中的多视图几何》 ，第 2 版。英国剑桥：剑桥大学出版社，2003 年。↩ ^a ↩ ^b ↩ ^c
Y. Ma、S. Soatto、J. Košecká 和 S. Sastry， 《三维视觉导论：从图像到几何模型》 。纽约，美国：Springer 出版社，2004 年。↩ ^a ↩ ^b ↩ ^c
OpenCV。 “相机标定和3D重建。” OpenCV 文档。https ://docs.opencv.org/4.12.0/d9/d0c/group__calib3d.html （访问日期：2025年8月18日）。↩ ^a ↩ ^b
OpenCV。 “鱼眼相机模型。” OpenCV 文档。https ://docs.opencv.org/4.12.0/db/d58/group__calib3d__fisheye.html （访问日期：2025 年 1 月 2 日）。↩ ^a ↩ ^b
“光学畸变”。维基百科。https ://en.wikipedia.org/wiki/Distortion_(optics) （访问日期：2025年1月2日）。↩ ^a ↩ ^b ↩ ^c ↩ ^d ↩ ^e