奈奎斯特頻率、混疊與彩色莫爾紋

雖然清晰度是影像品質的重要因素，
更銳利的鏡頭並不總是更好。
鏡頭的銳利度可能過高，超出感光元件的處理能力，導致令人不適的視覺瑕疵。

這些偽影，包括「階梯狀」和莫爾條紋（一種低頻圖案，可能呈現強烈的色彩），之所以會出現，是因為數位相機——以及所有數位取樣系統——都存在一個最大空間頻率，稱為奈奎斯特頻率。超過這個頻率，場景資訊就無法被正確再現。任何高於奈奎斯特頻率的資訊到達感測器後都會被「混疊」到較低的空間頻率，從而導致下文所述的偽影。

樣本由維基百科提供

取樣

數位取樣——將連續的類比訊號轉換為離散的數位訊號——涉及兩個操作。

奈奎斯特取樣定理

奈奎斯特取樣定理指出，如果以取樣率d<sub> scan</sub>對訊號進行取樣，並在截止頻率f<sub> C</sub> 處進行嚴格的帶限取樣（f<sub>C </sub> 不高於d<sub> scan</sub> / 2），則可以精確地重構原始訊號。頻f <sub>Nyq</sub> = d <sub>scan</sub> / 2 稱為奈奎斯特頻。根據定義， f <sub>Nyq</sub>始終為 0.5 週期/像素。

奈奎斯特頻率可以理解為每個週期有兩個取樣點的頻率。

較低頻率（每個週期超過兩個樣本）可以精確重現，但較高頻率則不能。

重建原始訊號的（技術性）數學公式可以在維基百科上找到。它涉及到 sinc (sin(x)/x) 函數，而該函數通常不用於數位成像。 

第一個感測器零點（訊號完整週期覆蓋一個取樣點的頻率，因此無論相位如何，該頻率都必須為零）是奈奎斯特頻率的兩倍。這意味著影像感測器在奈奎斯特頻率及以上頻率處可能具有較高的平均靈敏度（所有取樣相位的平均值），這可能會導致明顯的可見偽影。

別名

高於奈奎斯特頻率 fN 的訊號能量會發生混疊－表現為重複模式中人為降低的頻率訊號，通常以莫爾條紋的形式出現。在非重複模式中，混疊表現為鋸齒狀的對角線－「鋸齒」或「階梯狀」（一種較輕微的影像劣化形式）。下圖展示了高於奈奎斯特頻率的響應如何導致混疊。

別名範例
訊號（3 f Nyq  /2）                         
感光元件像素 
1
  
2
  
3
  
4
  
5
  
6
  
7
  
8
 
回應（ f Nyq  /2）                         

在這個簡化的例子中，感測器像素在中間一行顯示為粉紅色和青色交替的區域。根據定義，奈奎斯特頻率為 2 個像素內 1 個週期 = 0.5 個週期/像素。訊號（頂行；4 個像素內 3 個週期）是奈奎斯特頻率的 3/2，但感測器響應（底行）卻是奈奎斯特頻率的一半（4 個像素內 1 個週期）－頻率錯誤。它發生了混疊。

影像感測器對高於奈奎斯特頻率的訊號有響應－MTF非零，
但由於存在混淆，這不是一個好的響應。

在採用拜耳彩色濾光片陣列的數位相機中——感光元件上交替排列著RGRGRG和GBGBGB濾光片——這個問題會更加嚴重，因為相同色彩像素之間的間距遠大於最終影像中像素之間的間距，尤其是在紅色和藍色通道中，它們的奈奎斯特頻率只有整個影像的一半。這會導致彩色摩爾紋的出現，在織物等重複圖案上尤其明顯。去馬賽克程式（用於填充原始影像中缺少顏色的程式）使用複雜的演算法，根據其他顏色的細節來推斷每種顏色中缺少的細節。這些演算法會對彩色摩爾紋產生顯著影響。

拜耳彩色濾光片陣列（CFA）拜耳 CFA

許多數位相機感測器——尤其是老式可更換鏡頭相機——都配備了抗鋸齒濾波器或光學低通濾波器 (OLPF)，以降低奈奎斯特頻率以上的響應。抗鋸齒濾波器會使影像略微模糊，即降低解析度。光學器件中不像電子裝置那樣存在銳利的截止濾波器，因此會殘留一些鋸齒，尤其是在使用高銳利度鏡頭時。抗鋸齒濾波器的設計需要在銳度和鋸齒之間進行權衡（同時還要考慮成本）。

嚴重的鋸齒現象。早已停產的1,400萬像素柯達DCS 14n（首款全片幅24x36mm數位單眼相機）沒有配備抗鋸齒濾鏡。搭配銳利鏡頭時，其MTF響應遠超奈奎斯特頻率。正如Sergio Lovisolo提供的這張MTF測試圖所示，14n在奈奎斯特頻率附近（63 lp/mm）的表現非常糟糕。這種色彩摩爾紋現象極為嚴重。這款相機主要面向婚紗攝影市場，婚紗上的摩爾紋讓許多顧客非常不滿：這對攝影師和柯達來說都是損失。

彩色莫爾紋範例

近期推出的3,000萬像素以上（全片幅感光元件）的數位單眼相機，其像素尺寸也夠小，因此摩爾紋現像很少會造成困擾（至少在非重複圖案上是如此）。這些相機沒有低通濾波器，因此影像品質的提升幅度遠超單純像素數量增加所帶來的預期。

適馬數位單眼相機使用的Foveon感光元件在每個像素點上都能感知所有三種顏色。它也沒有低通濾波器，因此在奈奎斯特頻率下可以擁有很高的調製傳遞函數（MTF），但由於它是單色的而非彩色的，所以鋸齒現像不太明顯。

彩色波紋

彩色摩爾紋是一種人為造成的色帶，會出現在具有高空間頻率重複圖案的圖像中，例如織物或柵欄。右側的範例是Canon Rebel XT（一款較老的 APS-C 片幅數位單眼相機，像素相對較大）搭配其優秀的套機鏡頭拍攝的襯衫細節圖。

如下所述，彩色摩爾紋是採用拜耳彩色濾光片陣列的影像感測器中混疊現象造成的。要點：

  • 當影像能量顯著高於感測器奈奎斯特頻率（整個影像為 0.5 週期/像素，但單獨考慮紅色和藍色通道時僅為 0.25 週期/像素）時，就會出現彩色摩爾紋。
  • 它受鏡頭銳利度和抗鋸齒（低通）濾波器（如果存在，則會柔化影像）的影響。先進的去馬賽克軟體可以改善鋸齒偽影，而鋸齒偽影在銳度最高的鏡頭上往往最為嚴重。
  • 在紅色和藍色通道上最為明顯。
  • 應該在影像中心附近測量彩色莫爾條紋，因為鏡頭在該處往往最清晰，橫向色差（可以模擬彩色莫爾條紋）最小。

佳能 Rebel XT 相機中的彩色摩爾紋

色彩波紋範例：用以下方法拍攝的織物
佳能 Rebel XT 和套機鏡頭

最棒的教育應用

Imatest 包含一系列教育應用程序，可讓您視覺化取樣定理以及其他幾個概念，例如 MTF 和銳利化。

要打開教育應用程序，

Imatest教育應用程序，用於闡釋抽樣定理。
您可以使用滑桿調整頻率和相位。

透過調整頻率，您可以觀察到混疊現象（輸出訊號頻率低於輸入訊號）是如何在頻率 = 1x（0.5 週期/像素）時開始出現的。在頻率設定為 1x 的情況下調整相位，可以顯示輸出訊號的相位敏感性，其振幅從最大值變化到零值。

這款教育類應用有助於理解抽樣定理和混疊現象。不妨試試。

混疊對MTF測量的影響

強混疊是指鏡頭在遠超資料可重建最大頻率（奈奎斯特頻率， f <sub>Nyq</sub> = 0.5 C/P）的範圍內仍具有顯著響應。它會導致階梯狀偽影和莫爾條紋，這對應於f > f<sub> Nyq </sub> 時 MTF 的增強。由強混疊引起的極端偽影會使測量結果無效——它們沒有任何實際意義。當f <sub>Nyq</sub>處的 MTF 大於約 0.20 或 0.25 時，混疊會對效能產生顯著影響。

右側的影像遠超上述情況。它既有極度銳化（標準銳化，半徑 = 2——比「銳化」頁面上的任何範例都更強），又有極度鋸齒。因此，測量得到的 MTF 總結指標幾乎毫無意義。以下是一些說明。

  • 過度混疊（能量高於f Nyq ）意味著鏡頭性能過強，與感光元件不匹配。除了導致混疊外，這通常也意味著鏡頭價格過高。或感測器的像素尺寸過大（且數量不足）。無論哪種情況，系統都未達到最佳狀態：鏡頭和感光元件不匹配。
  • 過度銳利化（表現為從f = 0 開始 MTF 值迅速增加）通常會提升 MTF50 等綜合指標，但標準銳利化的週期性會導致這些綜合指標出現不可預測的變化。它還會造成空間域偽影，例如邊緣附近的“光暈”，這些偽影在小尺寸圖像（例如手機螢幕）上可能看起來不錯，但在大尺寸圖像上則不然。過度銳利化通常不會提升影像資訊容量及相關指標。
  • 當f > f Nyq時檢測到過多的能量，我們需要添加一個警告。
MTF 適用於具有極端鋸齒（表現為“階梯狀”）和銳化（表現為邊緣附近的“光暈”）的邊緣。循環 MTF 響應在銳化範例中進行了解釋。

斜邊MTF－為什麼它不能說明全部問題

原始波帶片圖案僅由同心圓組成。其餘部分均為莫爾條紋，這是由於在未進行抗鋸齒處理（低通濾波）的情況下對原始圖案進行採樣而產生的。

得益於ISO 12233 分箱演算法，傾斜邊緣可以測量奈奎斯特頻率以上的系統響應。  （ f Nyq = 0.5 週期/像素） 。正如我們所展示的，高於f Nyq的反應會導致混疊偽影，例如莫爾條紋，但 MTF 測量存在一些局限性——特別是傾斜邊緣 MTF 測量，這是 Imatest 的首選方法（在大多數情況下），因為它速度快且空間利用率高。

限制在於

在波帶板圖案（一種可以用Imatest測試圖表模組創建的最壞情況圖案）上，莫爾條紋非常明顯，但波帶板不適合進行定量測量。

由於MTF測量值與可見混疊現象難以直接關聯，因此高於奈奎斯特頻率的強MTF反應僅應被視為混疊可能存在的警訊，需要進一步探討。它並非混疊的明確指標。下文列出了用於直接測量混疊效應的Imatest技術。

楔

楔形圖（由Imatest 的Wedge和eSFR ISO模組分析）能夠提供最佳的混疊視覺指示和測量結果。楔形圖可用於計算

在舊版 ISO 12233:2000 圖表中，可以使用楔形模組手動選擇楔形，但我們不建議這樣做，因為它很不方便。 （而且，目前的 ISO 12233:2014+ 標準也不建議使用舊版圖表）。我們強烈建議使用eSFR ISO圖表和模組。  它符合現行標準，能夠自動偵測楔形和其他特徵。除了色彩混疊之外，它還能測量眾多影像品質因素（MTF、橫向色差、色彩、色調響應、雜訊、訊號雜訊比等）。楔形和 eSFR ISO 模組的楔形莫爾條紋圖完全相同。以下展示了 eSFR ISO 的結果。

楔形莫爾條紋圖

下圖所示的楔形莫爾條紋圖顯示了平均 CIELAB 色度 ( ）在楔形區域內測量，作為空間頻率的函數。下表列出了其他幾個與顏色混疊相關的指標。

要獲得下圖，請取得 eSFR ISO 圖表影像，然後按照此處的說明執行eSFR ISO 設定程式。 eSFR ISO 也可以在支援批次處理的自動模式下運作。在「顯示」下，選擇「18. 楔形莫爾紋」 。

舊款 iPhone 出現嚴重色彩鋸齒（CIELAB 色度）問題。
圖片中的色度已增強。

圖中曲線是所選指標的平均值（ 在這種情況下），取自楔形內部，如下圖所示。

楔形區域的一部分（由上方色度增強影像放大而來）。空間頻率從左到右遞增。
每個頻率的量測是透過對楔形區域內的參數（例如：|RB|）進行平均而得到的。

下表列出了可用的指標，這些指標可在下方「顯示」影像右側的「莫爾條紋」下拉式選單中選擇。僅建議使用其中三個指標：其他指標僅供參考或用於實驗。每個指標的最大值顯示在圖表的左上角（如上圖所示）。所有指標的最大值均可儲存為 JSON 和 CSV 結果檔。以下是指標列表，重點介紹推薦指標。

mean(|RB|)這是一個不錯的指標，因為紅色和藍色通道最容易受到顏色鋸齒的影響。
mean(|RB|) / mean(R,B)由於已根據 R 和 B 的平均值進行了歸一化，因此穩定性略高。
mean(|RG|)這些指標可能值得研究，但它們往往不如 RB 指標敏感，因為綠色 (G) 通道的奈奎斯特頻率較高。
mean(|RG|) / mean(R,G)
mean(|GB|)
mean(|GB|) / mean(G,B)
S(HSL)不建議使用這些飽和度指標，因為它們在低水平（L 或 S）下可能具有較大的值，從而產生誤導。這些指標可能不會被保留。
S(HSV)
色度CIELAB 色度， 這是主要的（建議的）顏色鋸齒指標。

顏色鋸齒度量

色彩鋸齒指標是 Imatest 5.1.12 版本（2018 年 10 月發布）新增的功能。在此版本之前，顏色指標與影像外觀的相關性較差。要顯示的指標在「顯示」下方的「莫爾條紋」下拉式選單中選擇。

在計算顏色混疊指標之前，每個楔形區域都會進行白平衡處理。這些指標在楔形區域內計算。為了獲得一致的結果，建議使用平滑處理（內核寬度為 0.01 週期/像素）。顏色莫爾條紋指標在「莫爾條紋」下拉式選單中選擇。我們主要建議的指標是色度 (sqrt(a*^2 + b*^2))。這是 CIELAB 色度的平均值， C = sqrt( a * 2 + b * 2 )。其他有用的顏色混疊指標包括 mean(|RB|) 和 mean(|RB|) / mean(R,B)。 |RB| 很有用，因為紅色和藍色比綠色更容易受到混疊的影響。

點擊「儲存資料」（或勾選對應複選框運行 eSFR ISO 安裝程式）會將資料儲存到 CSV 和 JSON 檔案。以下是顏色鋸齒匯總指標的 JSON 輸出範例（上表中顯示了每個指標的最大值）。推薦指標以粗體顯示。

"color_aliasing_max_mean_R_minus_B": [0.1327,0.1088,0.07527,0.07033],
"color_aliasing_max_mean_R_minus_B_normalized": [0.391,0.2999,0.4362,0.3822],
"color_aliasing_max_mean_R_minus_G": [0.09607,0.02452,0.08199,0.07815],
"color_aliasing_max_mean_R_minus_G_normalized": [0.328,0.05977,0.4449,0.3945],
"color_aliasing_max_mean_G_minus_B": [0.1041,0.1088,0.06335,0.03999],
"color_aliasing_max_mean_G_minus_B_normalized": [0.2701,0.2991,0.2851,0.1786],
"color_aliasing_max_mean_S_HSL": [0.6033,0.9159,0.4902,0.5427],
"color_aliasing_max_mean_S_HSV": [0.3227,0.2781,0.4083,0.3311],
"color_aliasing_max_mean_CIELAB_chroma": [16.61,16.48,10.69,11.19],