对随机尺度不变图案（包括散落的硬币（枯叶）图案）进行分析，以测量纹理清晰度
介绍
Random/Dead Leaves 模块可在交互式Rescharts界面下运行，也可作为固定（非交互式、支持批处理）模块运行，用于测量随机尺度不变（或近似尺度不变）测试图（包括“Dead Leaves”和“Spilled Coins”图）的空间频率响应 (SFR) 或调制传递函数 (MTF)。它主要用于测量图像处理（尤其是双边滤波）对图像纹理和外观的影响。
双边滤波器是一种广泛使用的边缘保持降噪滤波器，几乎在所有相机生成的JPEG文件中都有应用。它能锐化图像边缘，同时平滑相对平坦的区域，而这些区域的噪声最为明显。双边滤波器是不均匀的，也就是说，其在图像不同区域的表现有所不同。它会导致边缘比精细纹理更锐利，并且会导致倾斜边缘的MTF测量结果显示清晰度高于纹理的实际清晰度。当使用双边滤波时，散落硬币的测试结果更能代表典型的图像外观。另一个展示清晰度如何随特征对比度变化的Imatest图表/模块是Log F-Contrast 。
枯叶/散落硬币图案越来越受到关注，因为它们的统计数据与自然场景相似；与其他图案（尤其是斜边图案）相比，它们受边缘锐化的影响较小，因此能够提供与感知观察结果更相关的纹理细节估计值。它们是 ISO 技术委员会 TC 42/WG 18 提出的纹理模糊测量 ISO 标准的基础。
Imatest 的“散落硬币”图表（2013 年 1 月发布）相比现有的“枯叶”图表具有多项优势。最重要的是，它几乎完全不受尺度影响，因此能够产生更可靠、更一致的结果。尺度不变性意味着图案的统计数据（尤其是频谱和对比度）与放大倍数无关，也就是说，不会随相机到目标的距离、裁剪或像素尺寸而变化。这大大简化了设置和分析——其优势详见此处。这一要求由具有 1/ f频谱（即 1/ f²功率谱密度 (PSD)）的随机（或近乎随机）图案来满足。
可以从Imatest 商店购买Spilled Coins图表。
尺度不变的测试图表
Random/Dead Leaves支持两种类型的尺度不变图表：Dead Leaves 或 Spilled Coins 图表，由堆叠的随机大小的圆圈组成（更像散落的硬币而不是枯叶），以及纯粹的随机图表。
下面描述了尺度不变图的优点。
Imatest 散落硬币（枯叶）图表
与其他枯叶图相比，它有几个优势。
“散落硬币”图表的主要特点：
彩色“硬币散落”图表与单色图表具有相同的尺度不变（1/f）频谱，但对降噪信号处理的响应可能略有不同。 - 最大对比度范围为 3:1，符合 CPIQ 第三阶段纹理模糊度量草案规范的要求。
- 另有彩色版本（中心区域如图右侧所示）。
- 它比其他枯叶图更均匀，即更不易发生位移。
- 它包含倾斜边缘（2:1 和 4:1 对比度），以便与“散落的硬币”图案进行方便的比较。
- 噪声补偿：散落硬币图案左右两侧的灰色区域与图案本身具有相同的平均密度。从这些区域计算出的噪声功率谱密度 (PSD) 可以从中心散落硬币区域的信噪比 PSD 中减去，从而得到去除噪声后的图案本身的 PSD。该技术在Jon McElvain、Scott P. Campbell、Jonathan Miller 和 Elaine W. Jin 于 2010 年电子成像会议上发表的论文“基于枯叶目标的空间频率响应纹理测量：扩展及其在实际相机系统中的应用”的公式 (6) 中进行了描述。
- 包含对位标记和 16 个灰度色块。用于创建灰度色块的线性级别为 0 至 255，步长为 17（与即将发布的 ISO 12233 标准草案中的西门子星形色块相同）。黑色轮廓线便于色块对齐。
| 散落硬币图表尺寸 | 散落的硬币区域 | 打印区域 | 媒体大小总计 |
| 大的 | 12x12 英寸（305x305 毫米） | 22.4x16.8 英寸（569x426 毫米） | 24x18 英寸（610x458 毫米） |
| 中等的 | 8x8 英寸（203x203 毫米） | 14.93x11.2 英寸（379x284 毫米） | 16x12 英寸（458x305 毫米） |
| 小的 | 6x6 英寸（152x152 毫米） | 11.2x8.4 英寸（284x213 毫米） | 12x10 英寸（305x254 毫米） |
| LVT（薄膜） | 5.536x5.536 英寸（141x141 毫米） | 9.25x7.75 英寸（159x197 毫米） | 10x8 英寸（254x203 毫米） |
| “枯叶”图表旨在发现此类问题：一张早期800万像素手机拍摄的照片，边缘锐利（由于软件过度锐化；镜头性能不佳），但纹理损失严重（松树部分；这是由于软件降噪处理旨在减少微小像素产生的噪点）。点击此处查看该手机拍摄的散落硬币照片的局部放大图及详细分析。这样的图像让我想起了经典电影《捉鬼敢死队》中的一句台词：“ 他把我弄得黏糊糊的。 ” |  |
随机尺度不变图
随机尺度不变图（可从Imatest 测试图表模块打印）的结构与散落硬币图相同。中心的随机尺度不变图案占据了图表的大部分空间。
算法：图表最初是一个均匀分布的随机模式，其值介于 0 和 1 之间。然后将其傅里叶变换到二维频域，强制 FFT 的幅度具有 1/f 频谱，然后将其傅里叶变换回空间域。
左侧两个平滑区域用于测量噪声功率谱密度 (PSD)，该噪声功率谱密度可用于使用上面提到的McElvain-Campbell-Miller-Jin 技术去除中心随机模式的噪声功率。
图表之间的差异
尽管两幅图的频域特征相似（1/ f傅里叶变换 = 1/ f²功率谱密度），但它们在空间域上却截然不同。“随机”图案没有任何边缘或尖锐特征，而“散落的硬币（枯叶）”图案则具有数量适中的边缘，且大多数边缘对比度相对较低（低于最大对比度 3:1）。
随机图案是降噪效果最强的图案：它最大限度地降低噪点，同时最大限度地减少锐化。散落硬币图案则更接近真实图像：它边缘较少，且纹理细节丰富。这种图案在图像处理行业，尤其是在手机图像质量（CPIQ）组织中，已经获得了广泛关注。
获取并拍摄图表
“散落硬币”图表可在Imatest 商店购买。 “随机”图表也可购买。
使用Imatest 测试图表软件可以创建用于打印随机尺度不变测试图表的 TIFF 文件。典型设置如下所示。 警告：除非您拥有高质量的照片打印机，否则请勿尝试打印图表。
如上图所示，标准随机尺度不变图表中，尺度不变随机图案占据图像中间 75% 的区域。右侧包含一个 16 格灰度阶梯图，密度以 0.1 为增量，以及一个低对比度 (2:1) 的倾斜边缘，其平均密度与随机图案的密度相同。该倾斜边缘可与 SFR 一起运行以进行比较。左侧包含两个用于测量噪声的色块（用于从随机图案的功率谱密度中减去噪声功率谱密度）。 |
将图表粘贴在平整的中灰色或黑色纸板上——1/2英寸（12.5毫米）厚的泡沫板效果很好；较薄的纸板更容易变形。我们建议使用喷胶（例如3M ™ Super 77或Photo Mount）或双面胶带（例如3M ™ #568可定位安装胶）。根据待分析图表的水平像素数量，图表应占据水平画面的1/3到1/4。其他图表也可以与图表一起粘贴。
方向。图案应水平放置，即横向放置（宽度略大于高度）。
使用Imatest Lab或镜头测试指南中描述的照明方式拍摄图表，注意避免眩光。将图像保存为几种高质量格式中的任意一种，但要注意高压缩率（低质量）的 JPEG 格式，除非您专门测试 JPEG 格式的图像质量下降，否则高压缩率的 JPEG 格式图像质量会降低。
由于大多数相机和镜头的分辨率在图像上会有所不同，因此图表不应占据画面太多空间。
此建议不适用于 VGA 等低分辨率系统，这些系统至少需要 300 像素的活动图表高度（如果可能的话，更高一些）。 |
运行程序
交互式运行
此分析可在“目标”下选择；点击⚙️图标即可查看选项。点击“图表配置”下拉菜单，选择要分析的图表的相应设置。
| 枯叶（散落的硬币）十字架 | Imatest 的彩色硬币图案图表，图案周围有 8 个定位标记。 |
| 随机 1/f：仅限模式 | 没有灰度或灰色色块。 |
| 散落的硬币/随机/TE265 带注册标记 | Imatest散落硬币或随机色卡，边缘带有灰度色块，角落附近带有定位标记（也可使用Image Engineering TE265 枯叶色卡）。支持自动区域检测。 |
| 散落的硬币/随机 Isolight | Imatest Spilled Coins或Random图表，具有更紧密的注册标记（和更少的灰度色块），可与Isolight一起使用。 |
| TE276 CPIQ 版 | 图像工程 TE276 图表 v2，侧面带有大面积噪声 PSD 补丁 |
| TE276 v3 | 图像工程 TE276 图表 v3 |
| DxO枯叶 | DxO 原创的枯叶图表设计 |
选择要读取的图像。如果像素大小与上次随机运行相同，系统会询问您是否要使用之前的 ROI、调整之前的 ROI 或重新裁剪。如果文件夹中包含无意义的相机生成文件名，例如 IMG_3734.jpg、IMG_3735.jpg 等，您可以使用“查看/重命名文件”实用程序将其更改为包含焦距、光圈等有意义的名称。该实用程序会利用存储在每个文件中的 EXIF 数据。
以固定（可批量处理）模块的形式运行
“随机/枯叶”模块也可以作为固定模块运行，能够批量分析文件。从目标中选择“随机/枯叶” ，并将分析模式设置为“自动（批量）” 。选择一个或一组文件。如果图像大小与最近运行的图像相同（系统会保存多个大小），系统会询问您是否要重复相同的感兴趣区域。
裁剪
对于标准的随机或散落硬币图像，请先在注册标记的外侧进行初始裁剪。初始 ROI 选择无需非常精确，因为可以在下方所示的 ROI 微调窗口中进行调整。您可以最大化 ROI 微调窗口以方便进行精细选择。
| 从Imatest 4.0版本开始， Imatest Spilled Coins/TE265 Dead Leaves图表支持自动区域检测。在运行“随机”操作之前，必须在“设置” > “ROI 选项”中选择自动/手动区域检测。相关部分如下所示。 在三个随机下拉菜单选项中，第一个是传统的手动ROI选择方法。第二个是自动检测，自动选择后会显示“微调”窗口供确认（并根据需要进行调整）。第三个是全自动检测，无需确认。 或者，也可以在设置窗口中选择自动/手动区域检测（用于下次运行），如下所述。 “自动ROI选择”右侧有两个下拉菜单。第一个下拉菜单包含三个与自动检测相关的选项： 第二项有两个与区域选择后出现的设置窗口相关的设置。 |
如果按下”（未选择快速模式），则会显示如下所示的设置窗口。您可以随时按下按钮打开此窗口。
设置
标题默认为文件名。如有需要，您可以输入系统描述。
设置区域
图表配置（图中显示的是枯叶（散落的硬币或 TE265））复制了 Rescharts 窗口中的区域选择下拉菜单。它指示如何处理围绕主图案的图形。会影响下一次运行。 （为修复版的随机数生成器添加。）
下次运行的区域选择（手动或自动）允许您选择手动或自动区域选择（带或不带 ROI 确认）。此功能在Imatest 4.0中新增。
| 原始图表 MTF 指数是获得正确 MTF 测量值的关键设置。对于“抛掷硬币”和“尺度不变随机”图表，将指数设置为-1 。（这是尺度不变性的值。） 对于TE265 枯叶图表，将指数设置为-0.85 ±0.02 。该数值为近似值。 如果您有原始图表文件或一张充满整个画面的超高清图表图像（使用高品质镜头在最佳光圈下拍摄，并特别注意确保图像清晰对焦——这一点很重要，因为某些自动对焦系统对枯叶或随机图案的对焦效果不佳），则可以确定指数。详情请参见下方的 PSD 文件。 |
通道可以是 R、G、B 或 Y（亮度；默认值）。 亮度 (Y) 通道对应于人眼感知，其定义为 Y = 0.2126*R + 0.7152*G + 0.0722*B。“选项 III”窗口允许您在推荐值和较旧的（基于 NTSC 制式的）值 0.3*R + 0.59*G + 0.11*B 之间进行选择。
“计算段数”是指要分析的二维频域中的段数。支持 8、12 和 24。默认值为 8，但通常 1 就足够了。此参数源自星形图，星形图在空间域中计算段数，这可能更有意义。未来可能会移除此参数。
“计算段数”是指要分析的二维频域中的角度段数。支持 8、12 和 24。默认值为 8，但通常 1 就足够了。常规 MTF 图最多可以显示 8 个角度段，但在角度图（ MTFnn、MTFnnP ）中会显示所有角度段。
计算半径是指用于MTF计算的圆上的半径数。大多数情况下，64就足够了。32更快且不易受噪声影响；128具有更精细的频率梯度，但更容易受噪声影响且速度较慢（不推荐）。
输入或计算伽玛值。您可以选择“从图表区域计算伽玛值并线性化”或“输入伽玛值进行线性化”。如果选择“计算伽玛值”，则会使用随机图案右侧的 16 格步长图表来确定用于图表线性化的伽玛值， “伽玛值（下方）”将被禁用，并且显示的伽玛值包含指标（图表）的值。
当选择“输入伽玛值...” （上方）时，伽玛值用于线性化测试图。它可以通过阶梯图、颜色检查或多图进行测量。0.5 是伽玛值为 2 的色彩空间（例如 sRGB、Adobe RGB 等）的典型值。如果输入伽玛值（而非计算值），则显示的伽玛值包含指示符（输入值） 。
保存 ROI 设置... 允许您使用“如何存储和检索区域选择”中描述的方法保存 ROI 设置。
显示区域
MTF 图用于选择 x 轴刻度。如果选择“周期/英寸”、“周期/毫米”或任何“周期/角度”设置，则应输入像素间距（微米/像素、像素/英寸或像素/毫米）。
线性图的 X 轴缩放用于选择线性图中要显示的最大空间频率。
辅助读出功能允许在 MTF 图上显示最多两个辅助读出值（MTFnn、MTFnnP 或指定空间频率的 MTF）。详情请点击此处。
不必担心所有设置都正确：您始终可以通过单击Rescharts窗口中的来打开此对话框。
按下后，系统将进行计算，并显示最近选择的内容。
随机交叉法：
随机或枯叶互相关法是一种替代纹理分析方法。它与基于功率谱密度的方法（文献中通常称为“直接”纹理法）的主要区别在于，互相关法使用参考图像文件来计算真实纹理模式和观测纹理模式之间的互相关。这使得该方法从依赖于模式的统计信息转变为依赖于模式本身（从半参考度量转变为全参考度量），从而可以对结果做出更强的假设。
更多信息请参见随机交叉纹理分析页面。
剧情（非Rescharts作品）
本节中的五个图表以输出图形的形式提供。它们在下表中被标记为固定模块中的“图表n” 。图表 1 和图表 4 的右侧显示了 EXIF 数据。
输出
如下所示的Rescharts窗口中的“显示”框允许您选择多个显示选项。显示选项在“显示”下方的框中设置。除Exif 数据外，所有显示选项均具有通道选择选项（红色、绿色、蓝色或亮度 (Y) (0.3R + 0.59G + 0.11B)）。
| 展示 | 描述 |
| 1. MTF （线性频率） 图 1 为固定模块 | MTF最多可显示8个段（频域）。线性频率显示。 |
| 2. MTF （对数频率） | MTF最多可显示8个段。对数频率显示。 |
| 3. MTFnn 或 MTFnnP 图 2 为固定模数（极坐标） | 以极坐标图或矩形图的形式显示 MTF 等值线（如果可用，则显示 MTF70 至 MTF10）。仅当选择了 >1 个计算段时才有意义。 |
| 4. EXIF 数据和线性化 图 3 为固定模块 | 如果可用，则显示 EXIF 数据以及线性化曲线（用于从图表中计算 gamma 值）。 |
| 5. 信号与噪声功率谱密度（线性 f） | 以线性频率显示信号+噪声、噪声和信号（去除噪声）功率谱密度。 |
| 6. 信号与噪声功率谱密度（对数 f） 图 4 为固定模块 | 以对数频率显示信号+噪声、噪声和信号（去除噪声）功率谱密度（通常更有用）。 |
| 7. SQF/Acutance 图 5 为固定模块 | 显示主观质量因子或CPIQ敏锐度。CPIQ JND（最小可觉差）也可绘制成图。 |
| 8. 显示图像 | 您可以选择多种方式显示图像（裁剪、提亮、增强色彩等）。 |
| 除了显示屏外，还有两个按钮可以保存结果。 | |
| 将星图窗口的图像保存为 PNG 文件。如果在“保存屏幕”对话框中选中“显示屏幕”选项，图像将在您选择的编辑器/查看器中打开。（ Irfanview效果不错，而且是免费的。） | |
| 将详细结果保存为可使用 Excel 打开的 CSV 文件以及 XML 文件。 | |
空间频率是根据图像自动计算的，假设对数频率随距离线性增加。图表周期数也由系统自动确定。
MTF
以下结果展示的是使用松下 Lumix DMC-G3（微型四分之三系统）相机和 14-45mm f/3.5-f/5.6 变焦镜头，ISO 800，f/8，28mm 焦距拍摄的样张。同时保存了 RAW 和 JPEG 格式的图像。RAW 格式的结果将首先展示；同一图像的 JPEG 格式结果稍后展示，以便进行比较。用于生成这些结果的图像裁剪图可在“纹理示例”中找到。
MTF（空间频率响应，低空间频率处归一化为 1.0*）可以线性或对数频率尺度显示。8 个（方向性）段的平均响应以粗品红色-灰色曲线显示。
*MTF 值已归一化至 MTF 数组中第二个或第三个元素的最大值。未使用第一个值，是因为原始图表的 MTF 在该频率下不具有可靠的尺度不变性，并且对光照不均非常敏感。
（原始图像；默认去马赛克处理）。点击此处查看原始图像的局部放大图。
图表左下角的Gamma = 0.526表示该 Gamma 值是根据“散落硬币”图案角落附近的 16 个灰度色块计算得出的。Gamma 值也可以直接输入。
图下方表格中列出了前 8 个角度段的 MTF50、MTF50P、MTF20、MTF20P、MTF10 和 MTF10P 值。MTF 值未低于指定水平的测量值将被省略。图中浅色虚线（在 0.35 到 0.5（奈奎斯特）周期/像素之间稳定在 0.35 附近）代表未进行降噪处理的 MTF 值。高于 0.4 C/P 的平均 MTF 值受dcraw 去马赛克算法选择的影响很小，但各段之间的差异会受到显著影响（当去马赛克质量设置为 -q 2：图案化像素分组时，差异会显著降低——如右图所示）。我们使用松下相机自带的 RAW 转换器Silkypix SE也获得了类似的结果。
由于原始图像（直接从传感器输出）已使用dcraw转换，而 dcraw 未进行任何空间图像处理（锐化或降噪），因此我们预期其 MTF 值将接近于从倾斜边缘导出的 MTF 值。我们可以通过在下方的下拉菜单中选择“1. 倾斜边缘 SFR”来比较它们。应勾选“降噪”复选框；如果未勾选，曲线会更加不平整。
在 0.4 周期/像素以下，散落硬币法和斜边法的 MTF 曲线吻合良好。超过 0.4 周期/像素后，散落硬币法的 MTF 曲线高于斜边法。
| 我们发现，散落硬币和倾斜边缘 MTF 测量结果之间的差异主要由去马赛克处理引起。去马赛克是一种非线性处理方法，它对边缘和随机噪声的处理方式截然不同。详情请参见“纹理示例”页面。因此，功率谱密度 (PSD) 减法算法无法完美运行。在 ISO 160 和 ISO 800 下，结果一致。 |
功率谱密度（PSD）
6.显示下拉菜单中的“信号与噪声 PSD（对数 f）”以对数频率刻度显示 PSD（比线性刻度更有用，因为 PSD 响应是指数的）。
这是用于创建“散落的硬币”图表的原始图像的 PSD 文件。
图中红色虚线“ --- ”表示指数为-2的功率谱密度(PSD)，对应于MTF指数为-1的图表，该指数值对应于尺度不变图表。与实际测量的PSD（蓝色实线“ — ”）吻合度极佳。如果未知枯叶图表的指数，则可以使用此显示来估计其指数。
- 您有用于打印图表的原始文件（可能性不大）吗？
- 您获得了一张非常高质量的图表图像，它充满了整个画面（使用高质量镜头在最佳光圈下拍摄，并特别注意确保图像清晰对焦——这一点很重要，因为自动对焦系统并不总是能很好地对焦枯叶或随机图案） 。
图中红色虚线的斜率是图表 MTF 指数，该指数在上述“设置”窗口中输入。您可以重复运行并尝试不同的指数值，直到获得与相应频率范围匹配良好的结果。
原始图表。点击此处查看图片局部放大图。图 4 为固定模块
图 4 为固定模块
原始图像的PSD和噪声原始图像的 MTFnn 和 MTFnnP
右侧的极坐标图显示了 MTF70 至 MTF10（空间频率，其中 MTF 分别为低频值的 70%、50%、30%、20% 和 10%）。空间频率以周期/像素为单位，沿径向显示。每图像高度的线宽 (LW/PH)、周期/英寸、周期/毫米等参数可在中进行选择。
类似的图表也可以在星图中显示。由于角度变化源自傅里叶空间，因此其含义在这里不太明确。
图 2 为固定模块
MTF70-MTF10 极坐标显示器（空间频率以C/P为单位，呈放射状显示）
Raw-JPEG 对比
与 RAW 图像不同，JPEG 格式的相机输出图像经过了处理。锐化几乎总是会被应用（这是有充分理由的：除非过度锐化，否则它总能提升图像的感知质量）。降噪也经常被应用（尽管不如锐化那么普遍），尤其是在高 ISO 感光度下，因为此时噪点可能非常明显。
MTF——散落硬币图案（JPEG）
MTF 与原始图像的 MTF 非常相似。在 0.1-0.3 周期/像素附近有一个轻微的凸起，这可能是锐化造成的（在散落硬币区域相对较弱）。MTF 在 0.4 周期/像素之后继续下降，但仍然略高于斜边 MTF。
MTF 高于 0.4 C/P 时，JPEG 测量（散落的硬币和倾斜边缘）的数值略低于原始测量的数值，这显然是因为 JPEG 图像有少量降噪。
图 1 为固定模块
MTF—斜边（JPEG）
在边缘图中可以明显看出锐化效果，表现为“光晕”（过冲），在MTF图中则表现为峰值在0.15-0.25 C/P附近的凸起。这种程度的锐化对于大多数应用来说都是合适的。
正如预期，对于采用非均匀/非线性信号处理的相机拍摄的JPEG图像，其MTF与原始图像差异显著。有趣的是，如果使用“锐化”部分所述的简单算法和公式进行锐化，MTF可以降低约0.5 C/P，这或许可以解释与“硬币散落”实验结果的差异。
4:1 对比度倾斜边缘的 MTF来自同一张JPEG图像
功率谱密度和噪声（JPEG）
散落硬币区域的总功率谱密度 (PSD) 加噪声用粗红线表示。噪声（左右两侧灰色区域）用粗棕线表示。减去噪声后的 PSD 用粗蓝线表示，它对应于散落硬币的 MTF（如上图所示）。图表 MTF 指数为 -1 时的理想响应用粗红虚线表示，仅供参考。
在高于 0.12 周期/像素时，可以观察到一些有趣的噪声频谱形状变化。目前很难确切地判断发生了什么，但很明显，噪声 PSD 减法的效果不如处理原始图像时那么显著。
图 4 为固定模块
JPEG图像的PSD和噪声为什么需要尺度不变性？
想象一幅由均匀分布的随机白噪声图案组成的图像。白噪声具有均匀平坦的频率响应：相当于 MTF 指数为 0，即它不具有尺度不变性。现在，将这幅图像缩小 50%，重复三次。
随机白噪声不具有尺度不变性。
每次将噪声大小减半时，噪声幅度都会减小，趋向于平坦的灰色。
现在让我们来看看尺度不变的图案会发生什么，在本例中是Imatest 洒硬币图案。
散落硬币图案几乎完全具有尺度不变性。
全尺寸
1/2 X 
1/4 X 
1/8 X
1/16 X f ( ax ) → F (ω/ a ) ⁄ | a |
如果函数F ( f ( ax )) = F ( f ( x ))，则称该函数是尺度不变的。虽然很难推导出F的一般解，但我们可以考虑F ( ω ) = 1/ ω且a > 0 的情况。
F(f(ax)) = F ( ω / a ) ⁄ | a | = ( a / ω ) ⁄ a = 1/ ω = F(f(x))。因此我们可以说， F ( ω ) = 1/ ω的图表是尺度不变的。
由于功率谱密度PSD与MTF的平方成正比，因此对于尺度不变函数， PSD ( ω )∝1/ ω²。MTF和PSD的指数分别为-1和-2。
历史：枯叶图最初由两篇论文引入成像领域， 分别是F. Cao、F. Guichard和Hervé Hornung发表于2009年《电子成像》 杂志的《测量数码相机的纹理清晰度》以及F. Cao、F. Guichard和H. Hornung发表于2010年《电子成像》杂志的《用于测量数码相机纹理质量的枯叶模型》 。这两篇论文都讨论了尺度不变性。在2009年的论文中，图4下方的表格声称枯叶图具有尺度不变性。（但对于SFR（斜边）目标而言，该表格是错误的。SFR目标在二维测量时不具有尺度不变性，但在一维测量时具有尺度不变性，这也是其通常的分析方式。）在2010年的论文中，他们指出PSD指数为-1.93，接近尺度不变。
Imatest图像统计显示MTF曲线
图表的一部分（原始图像）指数 = -1.01。
点击图片查看完整尺寸。
枯叶图表裁剪
“散落硬币”图表的创建顺序与“枯叶”图表不同。它不是随机放置圆圈，而是按从大到小的顺序排列，并且圆圈大小的分布也不同。这使得“散落硬币”图表具有更强的尺度不变性。而对于“枯叶”图表，在处理过程接近尾声时添加的大圆圈会对频谱和位移不变性产生不利影响，这可以通过图像统计模块方便地进行检查，只需在图像周围选择不同位置的方形或矩形区域即可。很容易看出，与其他图表相比，Imatest 的“散落硬币”图表具有非常好的位移不变性。
