基於傾斜邊緣的圖像資訊度量：方程式和演算法

本頁包含影像資訊度量的公式和演算法，包括如何從傾斜邊緣影像（Imatest 最常用的測試影像）計算資訊容量C ，以及如何從同一位置計算訊號和噪聲，從而獲得更優的影像品質測量結果。它是《傾斜邊緣影像資訊量測：說明》中計算的參考。

附錄 1簡要介紹了資訊理論。

新測量方法簡介

本頁介紹Imatest 的資訊容量相關測量方法，這些方法利用了傾斜邊緣（ Imatest最常用的 MTF 測量模式）的最新發現特性。許多新指標已應用於醫學影像，但由於測量難度較大，因此鮮為人知。我們介紹了一種便捷的傾斜邊緣測量方法，該方法利用了兩種不同的噪音測量方法，用於在訊號存在的情況下測量雜訊。

1. 邊緣方差計算測量空間相關的雜訊N ( x ) ，並用它來計算近似的相機資訊容量。
   
2. 雜訊影像計算測量頻率相關的雜訊N ( f ) ，並用它來計算替代資訊容量以及幾個額外的影像資訊指標，包括雜訊功率譜 (NPS ) 、雜訊等效量子 (NEQ )和SNRi 。

我們可以從採用截然不同的影像處理方法的影像中獲取資訊容量。

• 影像經過最少或統一的處理，由相機原始RAW檔案轉換為TIFF或PNG檔案。所謂“最少處理”，是指不進行銳化、不進行降噪，最多只應用簡單的伽馬曲線（不進行複雜的色調響應曲線或局部色調映射）。可以應用顏色矩陣（這會影響雜訊和訊號雜訊比，但不會影響調變傳遞函數MTF）。如果條件允許，這些影像可以提供最可靠的資訊容量測量結果。
  
  
• 相機產生的JPEG檔案通常帶有雙邊濾波器——這種濾波器會銳化影像邊緣等對比度較高的區域，同時模糊其他區域以降低雜訊——這使得影像看起來比實際包含的資訊更多。雖然這提高了傳統的信噪比（基於平坦區域）測量結果，但實際上卻失去了資訊。我們可以得到C的合理近似值，但經過雙邊濾波的影像不應用於影像資訊量測（例如信噪比增強指數）。我們將展示如何辨識經過雙邊濾波的影像。

本文概述了傾斜邊緣法計算MTF的方法，自2000年以來一直是ISO 12233標準的一部分。

• 在傾斜邊緣感興趣區域 (ROI) 中，找到每條掃描線y _l ( x ) 的中心。
• 對中心點擬合多項式曲線。
• 根據中心位置，將行內容物添加到四個容器中的一個。
• 將各掃描線交錯排列，得到 4 倍過取樣平均邊緣，其雜訊比單一掃描線低。
• 計算調變傳遞函數 ( MTF ，通常與空間頻率響應 ( SFR ) 同義) 的方法是：先對平均邊緣求導得到線擴散函數 (LSF)，然後對 LSF 進行加窗處理，最後進行傅立葉變換。 MTF 是傅立葉變換的絕對值，並在零頻率處歸一化為 1（或 100%）。

測量噪音的兩個步驟

在傾斜邊緣存在的情況下，噪音測量分兩步驟進行。首先，透過對感興趣區域（ROI）內每條掃描線的平方求和，計算空間相關的雜訊功率N ( x ) 。在大多數情況下，這使我們能夠利用N ( x )中是否存在峰值來判斷是否應用了非均勻影像處理（例如雙邊濾波），從而即使在非均勻處理的情況下，也能近似計算資訊容量C。

第二步計算雜訊影像的雜訊功率譜NPS ( f ) ，具體解釋如下。此步驟不適用於雙邊（非均勻）濾波影像。它能完整地表徵噪音。此處描述這兩個步驟是為了避免混淆。

第一步，空間相關雜訊N ( x )的邊緣方差計算方法首先被開發出來，並在 2023 年電子成像會議上提出。它能夠對所有類型的影像處理進行資訊容量C的初步計算。相機內 JPEG 影像中常見的雙邊（非均勻）處理可以透過N ( x )中的峰值來識別。

步驟 2 ，雜訊影像計算，測量雜訊功率（維納）譜NPS ( f ) ，必須使用∫N ( x ) dx進行歸一化。這可以完整地表徵噪聲，並允許計算影像資訊指標，包括NEQ ( f )、 SNRi和邊緣位置標準差( σ ) (1/ Edge SNRi) 。此步驟僅適用於經過最小/均勻處理的影像。

為了報告資訊容量，我們目前建議使用步驟 2 的結果，該結果更為準確，因為它使用了正確的雜訊頻譜NPS ( f ) ，但僅適用於經過均勻處理或極少處理的影像。步驟 1 的結果假設NPS為平坦（白色），因此可以對雙邊濾波影像（大多數消費級相機拍攝的 JPEG 影像）的性能提供一個有用的（儘管並不完美）近似值。

A：邊緣方差雜訊計算

摘要：將掃描線的平方相加得到邊緣方差，然後用它來計算初始資訊容量。 

邊緣方差資訊容量的計算在白皮書《 新的傾斜邊緣影像品質測量：邊緣方差計算》和 2023 年電子成像論文《使用傾斜邊緣測量相機資訊容量》中有詳細描述。

計算從傾斜邊緣的影像開始（ 原始ROI 如下所示），這些影像通常由4:1對比度圖產生（2:1到10:1之間的對比度圖均可接受）。除了上述的分箱/求和之外，還要將掃描線的平方值加總。這樣就可以計算邊緣的變異數σ s2  ( x ) ，它等價於訊號相關的雜訊功率N ( x ) 。

香農-哈特利方程式N (x) = σ s 2 ( x )中的雜訊功率和電壓σ s ( x )非常重要，因為許多影像（包括大多數消費級相機拍攝的 JPEG 影像）都使用了雙邊濾波器。這些濾波器會在影像邊緣等銳利區域附近銳化影像（增強雜訊），並在其他區域模糊影像（以減少可見雜訊）。這會掩蓋邊緣處的噪聲，而邊緣處的噪聲對系統的性能和資訊容量至關重要。這項新技術能夠使邊緣附近的訊號相關雜訊可見，從而可以將其用於資訊容量的運算。此外，它還非常方便。

N的選擇取決於影像處理方式。目前已確定兩大類。

1. 影像處理通常較為簡單或均勻，通常是從原始檔案轉換而來的 TIFF 格式檔案（raw→TIFF），且未進行雙邊濾波，也就是說，它們要麼沒有銳利化或降噪處理，要麼銳化或降噪處理非常均勻。大多數用於機器視覺/人工智慧的相機都屬於此類。
   
   由於雜訊可能是x的一個非常粗略的函數，因此需要較大的區域大小才能獲得穩定的N值。我們對 ROI 中所有x值取平均值。
   對於 ROI 內的所有x值。
   
   
2. 雙邊濾波影像包括消費級相機拍攝的大多數 JPEG 影像。
   
   雙邊濾波器銳利化影像中對比度高的特徵（例如邊緣）附近的區域，但模糊其他區域（以降低雜訊）。這會導致邊緣附近出現雜訊峰值（如下左圖所示）。模糊處理可以提高訊號雜訊比 (SNR)，但會遺失資訊。因此，邊緣附近的雜訊會顯著影響相機性能，在計算N 值時應予以高度重視。我們早就知道噪音峰值的存在，但在開發出目前的方法之前，它難以輕易觀察到。
   
   為了計算資訊容量C _init ，我們使用峰值處的電壓σ的平方，並用長度為PW 20/2 的矩形核進行平滑處理，以消除鋸齒狀。 這是一個略顯隨意的選擇，但能產生相當一致的結果。這種方法也適用於經過均勻處理的影像，但結果精度較低。
   
   Imatest可讓您選擇雜訊N的計算方式：可以是N_均勻分佈、 N_雙邊分佈，或根據峰值的存在自動偵測。 

香農-哈特利方程中的訊號功率S峰峰值幅度為V _PP的均勻分佈訊號的平均訊號幅度為— 是一個合理的數值，可用於使用上面所示的香農-哈特利方程式計算資訊容量，該方程式需要平均訊號功率， 。

在移除新發現的分箱雜訊、選擇雜訊功率計算、調整邊緣訊號電平（方波）使其更能代表「平均」訊號之後，將數值輸入香農-哈特利方程式（上文）以計算圖表對比度的資訊容量。

頻寬W始終為 0.5 週期/像素（奈奎斯特頻率）。高於奈奎斯特頻率的訊號不會增加資訊量；它們反而會因混疊而降低資訊量——混疊是指產生諸如莫爾條紋之類的低頻雜散訊號，這些訊號會幹擾真實影像。頻率依賴性來自調製傳遞函數 ( MTF ) ( f ) 。

將S _avg ( f ) 、 N和W代入香農-哈特利方程，即可得到資訊容量C 。

邊緣方差法的關鍵結果是：

C4EV_是測量 4:1 對比傾斜邊緣的直接結果。它是根據香農-哈特利方程式計算得出的，計算過程中使用了幾個假設（訊號在峰值測量範圍內均勻分佈，且雜訊功率譜密度 (NPD) 平坦_） 。 C4 是C _n的一個特例，對於n :1 對比（強烈建議使用 ISO 標準 4:1）， C _n對圖表對比和曝光很敏感，因此可用於測量表現與曝光的關係。

C _{_maxEV} （詳見附錄 2 ）是衡量相機最大資訊容量的一種較為穩定的指標，從C _₄ 開始（適用於 4:1 對比度測試圖）。此外，它對曝光不敏感，至少對於雜訊是訊號電壓已知函數的線性感測器而言是如此。

以下是邊緣方差法的一些關鍵結果。 （此影像經過最少的處理。）

B. 雜訊影像計算

摘要：從原始影像中減去低雜訊反投影/去分箱 ROI 影像，得到雜訊影像，用於計算雜訊功率譜 ( NPS ) 和幾個其他測量值。

這步驟可以全面表徵噪音。

雜訊影像計算是雜訊計算的第二步。它全面表徵噪聲，並用於計算資訊容量和相關性能指標，我們稱之為影像資訊指標。

此計算涉及反轉 ISO 12233 的分箱過程。注意到 4 倍過採樣邊緣是透過交錯 4 個分箱的內容創建的，每個分箱包含從原始影像中提取的平均（降噪）訊號，我們應用分箱演算法的逆過程，將每條掃描線的內容設定為其對應的交錯分箱（ 如下圖所示的逆分箱 ROI ）。由於逆分箱影像幾乎是原始影像的無雜訊副本，我們可以透過從原始影像中減去逆分箱影像來創建雜訊影像。下圖右側顯示了調整後的雜訊影像 ROI ，其均值（零）調整為中間灰色。

雜訊影像可以透過從原始影像中減去反向投影影像來創建，並校正邊緣方向上的不均勻性。下圖顯示了三幅影像。雜訊影像（右下角）的平均值為 0，為了便於顯示，已對其進行了提亮和對比度增強處理。這三幅圖像均為線性圖像：已應用伽馬曲線進行顯示。

原始投資報酬率

反向分箱/去交錯/ 反向投影 ROI

雜訊影像 ROI

這些影像可用於計算幾個關鍵的影像品質參數，包括雜訊功率譜和雜訊等效量子，這些參數在醫學成像系統中廣為人知， Ian Cunningham 和 Rodney Shaw 在一篇優秀的綜述論文中對此進行了詳細描述 [ 4 ]。這些測量方法在醫學影像領域之外並不為人所知，主要是因為它們難以測量。

雜訊功率譜（NPS）

雜訊（電壓）頻譜的平方是透過對雜訊感興趣區域（ROI）進行二維傅立葉變換計算得到的，並注意到初始二維頻譜在影像中心處的頻率為零。 未歸一化的一維雜訊功率譜NPS _U ( f ) 的計算方法是將二維頻譜分割成若干環形區域（區域數量取決於 ROI 的大小；通常為 6-10 個），然後計算每個區域的平均雜訊功率。這種變換使得在垂直和水平調製傳遞函數（MTF）接近的假設下，可以在一維（而不是二維）上進行計算。雜訊功率譜必須使用歸一化常數c _N進行歸一化。 。

NPS與雜訊影像變異數之間的關係由Cunningham 和 Shaw [ 4 ] 的公式 (3) 和 (8) 給出，我們將其簡化為一維形式，並將積分限從 {-∞,∞} 改為 {0, f _Nyq }，其中f _Nyq = 奈奎斯特頻率 = 0.5 週期/像素。假設應用 Parseval 定理，

上述一維傅立葉變換必須進行縮放，以與上述方程式保持一致。

雜訊等效量子 (NEQ)

是醫學影像領域一個廣為人知的評估指標，但在一般影像領域卻鮮為人知。 Brian Keelan 在 2016 年發表的一篇論文 [ 5 ] 中對此進行了描述。本質上，它是一個與頻率相關的信噪比（功率比）。其單位是指在光子散粒雜訊占主導地位的情況下，產生所測訊號雜訊比所需的等效量子數。

其中平均線性訊號，  μ可以透過兩種方式定義，取決於如何解釋NEQ 。

如果要使用NEQ來計算DQE （數位量子效率），則， 然後 μ應為原始影像中線性化訊號電壓的平均值。測量 DQE 需要單獨測量到達每個像素的平均量子數。我們將來可能會添加此功能。

熟悉噪聲等效量子數 (NEQ) 的含義和用法需要一些時間。 Tang 等人的論文《微分相位對比 CT 與傳統 CT 成像性能的表徵：噪聲等效量子數譜 NEQ(k)》就是一個很好的例子，它展示了 NEQ 在醫學成像中的應用：該論文具有很強的技術深度。

來自NEQ的資訊能力：

NEQ的一種特殊形式， NEQ _info ( f ) ，使用以下方法計算：用於根據香農-哈特利方程式的一個特例計算資訊容量C _{_NEQ} 。 NEQ _資訊未繪製在圖中。

其中頻寬W是攝影機的奈奎斯特頻率， [作者註：我原以為是我發現了這個聯繫，但它其實出自Christos Michail 等人關於 PET 掃描儀和數位乳房攝影的論文。 [ 6,7 ] 這些論文非醫學影像領域人士不太可能偶然發現。 ]

理想觀測者訊號雜訊比（SNRi）

是衡量小物體可探測性的指標。 Paul Kane [ 8 ] 和 Orit Skorka 和 Paul Kane [ 9 ] 的論文中對此進行了描述。

[8] 給出了 SNRi 方程式的一維形式，但經過相當大的努力，我們確定 [9] 中的二維方程式給出了正確的結果。

G ( ν _x ,ν _y ) ²與μ ² ΔS ² ( ν _x ,ν _y )相同。  MTF ( ν ) 和NPS(ν) 是在一維空間頻率下定義的。 單位為週期/像素，線性化訊號歸一化為最大值 1。

待偵測物體通常是一個尺寸為w × kw 的矩形，其中k = 1（對於正方形）或 4（對於長寬比為 1×4 的矩形）。其振幅（在初始分析中）是傾斜邊緣的峰峰值電壓（如上圖“電壓統計圖”所示）。這通常是從對比度為 4:1 的圖表中獲得的。

，

其中，當 -1/2 < x < 1/2 時，rect( x ) = 1；否則為 0。

G ( _νx , _νy )是待偵測物體Δg ( x , y )的傅立葉變換，它是用二維形式表示的。

SNRI ²是透過數值方法計算的，它創建了一個二維頻率數組（0 到 0.5 c/p，共 51 個步長），其中 x 軸表示ν _x ， y 軸表示ν _y ，並且填充了這些頻率用於建立二維數組，可以進行數值求和[9]。

對於寬度w從 1 到 10 的每個顏色通道，SNRi 都會顯示出來。最新的值（強調較小的物件）為w = 1、1.2、1.4、1.7、2、2.5、3、4、7、10。先前分析過寬度 >10 的對象，但它們對系統效能的了解甚少。

物件可見性

SNRi測量的目標是預測小而低對比正方形或4:1矩形的物體可見度。 SNRi預測結果需要視覺驗證。圖3（出自一篇經典的SNRi論文[8]）展示了一幅可以驗證這項預測的模擬影像。

我們為 Imatest 開發了一種顯示方式，它利用真實的傾斜邊緣影像和一些障眼法來實現這項功能。儘管使用了這些技巧，但數據仍然直接來自採集的圖像。

我們展示了兩組結果：一組是雜訊相對較低的影像，另一組是雜訊較高的影像（均來自配備微型4/3感測器的相機，ISO分別為100和12800）。正方形的邊長分別為w = 1、2、3、4、7、10、14和20像素。原始圖表的對比為4:1（亮部/暗部=4），相當於邁克爾遜對比C _Mich （亮部-暗部）為0.6。外側正方形的C_Mich = 0.6。中間和內側正方形的C_Mich分別為0.3和0.15。

如何使用這些影像——邊緣附近不顯眼的洋紅色 條紋旨在幫助您找到難以辨認的小方塊。黃色數字表示方塊的像素寬度。訊號雜訊比（ SNRi）曲線（至少在初始階段）代表圖表對比－強烈建議使用 4:1（ISO 12233 標準）。外側區域對應於訊號雜訊比曲線，根據Rose 模型[ 4 ]，訊號雜訊比為 5（14 dB）應對應於可見性閾值。

這兩張圖片只使用了原始像素，但我們使用了一些技巧，使正方形的邊框與被測設備一樣具有模糊效果。

右側的訊號雜訊比 (SNRi) 曲線對應上方右側的雜訊較大的 ISO 12800 影像。 w = 1的方格完全不可見； w = 2 和 3 的方格勉強可見； w = 4 的方格清晰可見。圖中， w = 2 時的 SNRi 為 0-5 dB； w = 3 時的 SNRi 為 5-10 dB；這與預期值（可見性閾值約為 14 dB）接近。

正方形是如何形成的

1. 如果原始圖寬度小於 170 像素，則需要放大影像，透過在影像左右兩側添加鏡像影像來為所有方塊騰出空間。如有必要，也可以在底部添加裁剪後的垂直鏡像影像。
2. 建立完整影像的（水平）鏡像。這就是“鏡像”部分。
3. 用這些份額創建一個蒙版。背景值為 0，方塊值為 1。邊緣銳利。
4. 使用 MATLAB 的 filter2 函數對方方塊進行模糊處理。這就是「煙霧」效果的實現部分。確定模糊核頗具挑戰性。我們發現，僅將一維線擴散函數 (LSF) 應用於二維影像無法獲得理想的效果，需要更複雜的變換。
5. 將兩張影像線性化（去除伽瑪編碼）。
6. 使用蒙版將它們組合起來，保留蒙版 = 0 處的原始影像，使用蒙版 = 1 處的鏡像影像，並在其他位置混合它們。
7. 重新應用伽瑪編碼。

噪音自相關性

此圖目前仍處於研發階段，其添加目的是為了驗證以下假設：當去除去馬賽克和固定模式雜訊的影響，且主要雜訊源為光子散粒雜訊時，雜訊功率譜（以及自相關性）能夠指示影像感測器的電串擾量。這個假設的基本想法是，入射到感測器上的光完全不相關，因此如果沒有串擾，雜訊將呈現白雜訊特性。

右側的圖片已進行白平衡調整。

此曲線是雜訊頻譜的|逆傅立葉變換|，基於作者對維納-辛欽定理的有限理解。

右側影像未進行白平衡處理。正如我們所預期的，紅色通道的自相關距離比其他通道更大。點擊圖片放大查看。

在影像統計模組中，也可以從平場影像獲得類似的自相關圖。已校正照明不均勻性，以降低遠距離的（虛假）自相關性。

調製傳遞函數 (MTF)——看起來有點不一樣
由於 y 軸是對數座標，因此與標準 MTF 圖不同。
用於計算NEQ 。

邊緣電壓未歸一化－用於 NEQ 運算。
比較不同通道的峰峰值振幅很有趣。

香農資訊容量的意義

（白皮書附錄《 使用 Imatest 測量資訊容量》
對資訊有簡潔的定義。 ）

在電子通訊頻道中，資訊容量是指頻道在無誤傳輸的情況下能夠傳輸的最大資訊量，即衡量通道「品質」的指標。實際的資訊量取決於編碼－即資訊的表示方式。雖然編碼是資料壓縮（影像在檔案中的儲存方式）不可或缺的一部分，但它與數位相機無關。重要的是以下假設：

假設：感知影像品質（假設影像處理流程調整良好）以及機器視覺和人工智慧 (AI) 系統的性能與相機的資訊容量成正比，而相機的資訊容量是 MTF（清晰度）、雜訊以及去馬賽克、裁切（如果存在）和資料壓縮產生的偽影的函數。

我強調這只是一個假設——用數學術語來說就是猜想。它與我的經驗和大量測量結果相符，但還需要更多的測試和驗證。現在資訊容量可以用Imatest方便地計算，我們有機會更深入地了解它。

正如我們所提到的，資訊容量是頻寬W和信噪比S/N的函數。

西門子星形法和斜邊法的優點在於，訊號功率S和雜訊功率N是從同一位置計算的：這很重要，因為雜訊在影像上通常不是恆定的。

概括

• 香農資訊容量C長期以來一直被用來作為衡量電子通訊頻道品質的指標。它規定了在採用適當編碼的情況下，資料傳輸無誤的最大速率（人們花了近半個世紀才找到接近香農容量的編碼）。對於成像而言，編碼並非問題所在。 Rodney Shaw 於 1962 年發表的論文[ 10 ] 和 R. Clark Jones 於 1961 年發表的論文 [12] 是測量膠片C 值的優秀（且罕見）範例——在當時，這並非易事。
• C通常以每像素位元數來衡量。總容量為。
• 在計算C之前，必須對通道進行線性化，即必須應用適當的伽馬校正（訊號=像素級伽馬值，對於標準色彩空間（例如 sRGB 或 Adobe RGB）中的圖像，伽馬值約為 2.2），才能獲得正確的S和N值。伽瑪值（接近 2）可以透過運行任何分析灰階梯圖的Imatest模組來確定，例如Stepchart 、 Colorcheck 、 Color/Tone 、 Multitest 、 SFRplus或eSFR ISO 。但在大多數情況下，如果輸入圖表對比度並選取「用於 MTF」 ，則可以從邊緣影像中確定伽馬值。
• 我們假設C值可以作為評估相機品質的指標，尤其適用於機器視覺和人工智慧相機。 （它不能直接應用於消費級相機，因為消費級相機需要精心調校才能發揮其潛力，即拍攝出令人滿意的圖像。）它為比較相機提供了一個公平的基準，尤其是在使用經過最少處理的RAW格式圖像時。
• Imatest計算數位影像Y（亮度）通道的香農容量C ，此容量近似於人眼的敏感度。它也計算各個 R、G 和 B 通道以及色度通道C _{_b}和C _{_r} 的C 值（由 YC_{_b}C_{_r} 得出）。
• 香農容量過去一直未被用於表徵攝影影像，因為其計算和解釋較為困難。但如今，香農容量的計算變得簡單，其與攝影影像品質的關係也值得進一步研究。
• 由於C是一種新的度量標準，我們有興趣與能夠驗證其對人工智慧系統適用性的公司或學術機構合作。

連結（ 白皮書中還有更多連結）

1. CE Shannon，“ 通訊的數學理論”，貝爾系統技術雜誌，第27卷，第379-423頁，1948年7月；第27卷，第379-423頁。
   623–656，1948 年 10 月。
2. CE Shannon，“ 噪音環境下的通訊”，IRE 會議論文集，1949 年 1 月，第 10-21 頁。
3. 維基百科－香農-哈特利定理是香農方程式的頻率相關積分形式，可應用於 Imatest 的正弦模式和傾斜邊緣香農資訊容量計算。
4. IA Cunningham 和 R. Shaw， “醫學影像系統的信噪比最佳化”，第 16 卷，第 3 期/1999 年 3 月/第 621-632 頁/美國光學學會雜誌 A 輯
5. Brian W. Keelan，“噪聲等效量子成像應用”，載於IS&T 國際電子成像研討會論文集：圖像品質和系統性能 XIII ，2016 年， https://doi.org/10.2352/ISSN.2470-1173.2016.13.IQSP-213 。
6. Michail C、Karpetas G、Kalyvas N、Valais I、Kandarakis I、Agavanakis K、Panayiotakis G、Fountos G.，正子斷層掃描掃描儀的資訊容量。晶體。 2018；8(12):459。 https ://doi.org/10.3390/cryst8120459 。
7. Christos M. Michail、Nektarios E. Kalyvas、Ioannis G. Valais、Ioannis P. Fudos、George P. Fountos、Nikos Dimitropoulos、Grigorios Koulouras、Dionisis Kandris、Maria Samarakou、Ioannis S. Kandarakis，「數位乳房和乳房影像」的尺寸，卷線攝影圖 卷線，圖 卷線攝影圖，卷線攝影圖 卷線。 2014 年，文章 ID 634856，11 頁，2014 年。 https://doi.org/10.1155/2014/634856 。
8. Paul J. Kane，“信號檢測理論和汽車成像”， IS&T 國際電子成像研討會：自主車輛和機器會議論文集，2019 年，第 27-1 - 27-8 頁， https://doi.org/10.2352/ISSN.2470-1173.2019.15.AVM-027 。
9. Orit Skorka、Paul J. Kane，“使用理想觀察者模型進行目標檢測”， IS&T 國際電子成像研討會：自主車輛和機器，2020 年，第 41-1 - 41-7 頁， https://doi.org/10.2352/ISSN.2470-1173.2020.10.2352/ISSN.2470-1173.2020.16.A 。
10. R. Shaw，「 傅立葉技術與資訊理論在攝影影像品質評估的應用」 ，《攝影科學與工程》，第6卷，第5期，1962年9-10月，第281-286頁。轉載自Rodney Shaw編輯的《影像評估精選讀本》，SPSE（現為SPIE），1976年。文中對膠卷資訊容量的計算進行了深入而複雜的分析。 可供下載。
11. X. Tang、Y. Yang、S. Tang，《差分相位對比CT與常規CT成像性能的表徵：噪聲等效量子NEQ(k)譜》 ， Med Phys. 2012年7月；39(7): 4467–4482。2012年6月29日在線發表。 doi : 10.1118/1.4730287 。
12. R. Clark Jones，《照相膠片的資訊容量》，美國光學學會雜誌，第51卷，第11期，1961年11月，第1159-1171頁。

附錄1：資訊理論簡介

挑戰總是令人興奮的！電子通訊頻道就有一個這樣的指標──它量化了頻道在無誤差情況下能夠傳遞的最大資訊量。此指標包含了清晰度和雜訊（膠片上的顆粒感）。而相機——或任何數位成像系統——就是這樣一個頻道。

此指標最早由貝爾實驗室的克勞德·香農於1948年發表[ 1,2 ]，現已成為電子通訊產業的基礎。它被稱為香農頻道容量或香農資訊容量C ，其公式看似簡單[3]。 （更多詳情請參閱維基百科關於香農-哈特利定理的頁面。）   

W  是頻道頻寬，  S （ f ）  是平均訊號能量（訊號的平方）。  電壓；與MTF ( f ) ^²成正比，而N ( f )是平均雜訊能量（均方根雜訊電壓的平方），對應於膠片顆粒。它看起來很簡單（只比E = ^mc²略微複雜一些），但應用起來並不容易。

克勞德·香農是一位真正的天才。 《與克勞德·香農共度一萬小時：天才如何思考、工作與生活》這篇文章非常值得一讀。 《紐約客》和《科學美國人》上也刊登過一些關於他的精彩文章。 IEEE也有一篇文章，將香農與機器學習和人工智慧的發展連結起來。我特別對時長29分鐘的影片《克勞德·香農－資訊時代之父》感興趣，這部影片由加州大學聖地牙哥分校記憶與記錄研究中心製作，我以前工作時常去那裡。

附錄 3. 雜訊分箱 像素合併雜訊與量化雜訊具有相同的統計特性，是 ISO 12233 像素合併演算法最近發現的一種雜訊來源。它在影像過渡區域附近最大－即線擴散函數（LSF）處。達到最大值，並且會影響資訊容量的測量。這是因為根據掃描線中心位置的多項式擬合（該多項式是一個連續函數），將各個掃描線添加到四個區間之一。 假設n 個相同的訊號μs ( x )在區間{-Δ/2, Δ/2}內進行分箱，其中在分箱演算法的 4 倍過採樣輸出中 Δ = 1（注意 Δ = (原始像素間距)/4）。如果沒有分箱噪聲，我們預期分箱噪聲功率σBnoise2為零。然而， μs ( xk )的值在區間 Δ 內均勻分佈的位置xk處求和，因此它們取值為 對於線擴散函數LSF (x)。注意到 δ 在 {-1/2, 1/2} 上均勻分佈，我們應用均勻分佈方差的公式（類似於量化雜訊）得到 。 儘管方程式涉及一些近似值，但我們在計算校正後的雜訊方面取得了良好的效果。 . 噪音分箱對傳統的MTF計算沒有影響。 像素合併雜訊也會影響採用雙邊濾波（非均勻銳利化）的JPEG檔案。去除這些雜訊可以提高計算的穩健性。