レンズ収差、回折、および焦点ずれ（またはピント誤差）は、レンズの鮮明度を制限する基本的な要因です。これらについては、以下のセクションで説明します。
レンズ（光学）収差
光学系の不完全性は、波長によって光の屈折が異なること、球面（あるいは非球面）では広い視野にわたって鮮明な画像を提供できないこと、レンズの中心を通過しない光線の焦点がずれることなど、多くの原因から生じます（例えば、コマ収差、非点収差、球面収差、色収差（縦方向および横方向））。収差補正は、高度なレンズ設計と製造における主要な目的であり、優れた光学設計と平凡な光学設計を区別する要素です。
光学収差（低次の数学モデルにちなんでザイデル収差と呼ばれることもある）は、5つまたは6つの個別の要素に分解できます。Imatestではそれらを分離することはできません。そのためには（高価な）光学レンズテスターが必要です。
レンズ収差は、絞り値が大きいほど（F値が小さいほど）大きくなり（補正が難しくなり）、レンズによって、あるいは同じレンズの異なるサンプル間でも大きくばらつきがあります。つまり、大量生産されるレンズの品質管理は、必ずしも同一の品質のレンズを生み出すとは限りません。
回折
回折は、画像をぼかす基本的な物理現象です。これは、境界付近で光波が曲がることによって生じます。絞りが小さいほど（F値が大きいほど）、または波長が長いほど、回折によるぼけは大きくなります。回折は基本的な物理現象であるため、すべてのレンズで同じです。ほとんどのレンズでは、回折が収差よりも大きくなる小さな絞り（大きなF値）では、性能に大きな変化はありません。F値は、レンズの焦点距離fを絞り径Aで割った値（ f# = f / A ）に等しくなります。古典的なF値（fストップ）の順序では、
f # = { 1 1.4 2 2.8 4 5.6 8 11 16 22 32 45 64 ...}
各絞り値では、前の絞り値の半分の光量しか取り込まれず、F値は2の平方根（1.414）倍されます。写真家が「露出を1絞り上げました」と言う場合、絞り値のシーケンス上の位置は1段階下がります。例えば、絞り値はf/8からf/5.6に変わります。
ほとんどのレンズでは、収差は絞り値が大きいほど（F値が小さいほど）悪化する傾向があり、一方、回折は絞り値が小さいほど（F値が大きいほど）悪化する傾向がある。 その結果、レンズには最もシャープな描写が得られる最適な絞り値が存在し、通常はレンズの最大絞り値より2～3段低い値（高級レンズの場合はさらに低い値）となる。最適な絞り値の範囲はかなり広い。 |
最適な絞りを見つけるには、異なる絞りで撮影した画像をバッチ処理し（ Imatest SFRplusまたはeSFR ISOを推奨）、結合された出力（CSVファイル）をBatchviewに入力します（図1）。
図1では、加重平均（黒）、中央部（赤）、中間部（緑）、およびコーナー部（青）のMTF50を画像高さあたりの線幅（LW/PH）で表しています。手順の詳細は、 こちらで説明しています。図1のレンズの結果では、最適な絞り値（f/8～f/11）は最大絞り値から2～3段分離れており、エッジのシャープネスは印象的ではありません。
図2では、 SFR 、 SFRplus 、 eSFR ISOによって生成されたMTF図において、適切なダイアログボックスにピクセル間隔（通常はミクロン単位）を手動で入力し、絞り（F値）が既知である場合（通常はEXIFデータから取得されますが、手動で入力することもできます）、回折限界MTFが薄茶色の点線で表示されます。
この図において、左側の曲線は、レンズをf/22に設定したCanon EOS-40D（画素間隔5.7ミクロン）のものです。f/22は小さな絞り値であり、被写界深度を大きくする必要があり、かつシャープネスを多少犠牲にしても構わない場合にのみ使用すべきです。
回折によって点光源が広がり、 エアリーディスクと呼ばれる円形のパターンが形成されます。完全な式（ Wikipedia参照）は以下に示されています。ディスクの半径（中心から最初のヌル点まで）は非常に単純です。
ここで、 λは波長、 NはレンズのF値（F値＝絞り径／焦点距離）である。
回折限界MTFの式は、以下およびSPIE OPTIPEDIAの 回折変調伝達関数、 David Jacobsonのレンズチュートリアル（ 旧バージョン）、 normankoren.comに記載されています。回折カットオフ周波数は
λは通常、可視光（黄緑色、人間の目が最も敏感な波長）の場合0.555マイクロメートル（0.000555 mm）ですが、赤外線など、スペクトル応答が異なるカメラの場合は変更できます。
させて
回折限界MTFは
図2には、プロットや画像のピクセル値を確認できるデータカーソルデータチップも表示されています。データカーソルデータチップは、Imatest 3.6以降のすべての図とインタラクティブGUIで利用できます。
レンズのMTF応答は回折限界応答を超えることは決してありませんが、システムのMTF応答は、ほとんどのデジタルイメージングシステムに存在する（そして存在するべきである） シャープニングの結果として、中程度の空間周波数でそれを超えることがよくあります。
レンズの応答特性に加えて、システムMTF応答特性は、センサー（1サイクル/ピクセルでヌル点を持つ）、アンチエイリアシングフィルター（0.5サイクル/ピクセル以上のエネルギーを抑制するように設計されている）、および信号処理（非常に複雑になる場合があり、画像の異なる領域で異なる場合がある）によって影響を受けます。
回折、ピクセルサイズ、およびテストチャートの要件
ImatestのMTFテストは、テストチャート（多くの場合、斜めエッジチャート）を撮影・分析することによって実施されます。当社は、正確な結果が得られるよう、チャートの品質を十分に確保することに尽力してきました。最近（2021年8月）、回折限界のため、1.2ミクロン以下の微小ピクセルを持つカメラの場合、チャートサイズの要件を多少緩和できることに気づきました。
回折に対処する手順を開発する際に、回折限界MTFが特定の値（MTF = nn %の場合f nn ）に等しくなる空間周波数は、単純な分数であることに注目します。
ピクセルサイズpの場合、
もしつまり、レンズの最高のシャープネスは、通常想定されるよりも低いということです。これにより、センサーの高さ（ピクセル単位、 MTF測定のテストチャートの適合性を示す図の左側のy軸）を乗算することができます。これにより、推奨されるグラフの高さが下がります。
0.7μmの微小ピクセルとf/2の絞りを持つ108MPセンサーについて、 MTF測定に適したテストチャートで、手順全体を説明および図示しています。
回折、ピクセル応答限界、およびQ
そこで当然、「カメラの解像度はいつ光学系によって制限され、いつセンサーのピクセルサイズによって制限されるのか？」という疑問が生じる。言い換えれば、
回折限界光学系とセンサー画素サイズ限界光学系の境界はどこにあるのでしょうか？
この問題は、Robert Feite著「デジタルカメラのイメージングチェーンのモデリング」（SPIEデジタルライブラリ、8.3 ）で提示されているQの概念を用いて解決できる。（この点を指摘してくれたJ. Gordon Arkenberg氏に感謝する。）
本質的に、 Qはセンサーのカットオフ周波数と周波数の比です。これはナイキスト周波数f Nyq の2 倍であり、回折限界カットオフ周波数までである。 。
Q = 2の場合、これは、エイリアシングを起こさずに画像エネルギーを正しく再現できる最高周波数です。
Feite の言葉を引用すると、「 Q < 2のカメラは MTF は高いがエイリアシングが発生するのに対し、 Q > 2のカメラは MTF が低くぼやけた画像を生成するがエイリアシングは発生しない」。つまり Feite にとってQ = 2が境界線である。Imatest (主に NLK)の経験では、わずかなエイリアシングはシャープネスを向上させるが、許容できない視覚的アーティファクトは発生しないため、低いQは許容範囲内である。私は、MTF @ f Nyq = 0.3 (30%) のシステムは、許容範囲内の視覚的アーティファクトがあるが、知覚的に優れたシャープネスを持つ可能性があると考えている。このレベルでは、
;したがって
これは、知覚的な鮮明さを犠牲にしてエイリアシングをゼロにするQ =2よりもかなり低い値です。Qは品質係数と考えるべきではありません。
イメージングシステムにエイリアシングがない場合、つまり回折限界がナイキスト周波数（ Q = 2）以下である場合、
エアリーディスクの半径は、ピクセル間隔のほぼ5倍になる。
画像はピクセルレベルでは鮮明に見えないでしょう。
エアリーディスクの直径はQ = 2 (エイリアシングなし) の場合、 d airy 幅は4.88ピクセルです。Q = 1 （回折とセンサーのカットオフ周波数が等しい場合）では、 d airy 依然として2.44ピクセルです。
Q値は被写界深度（DoF）と密接に関係していますが、レンズの焦点距離とカメラの視野角（視野角の限界を定義するために使用される）が関係するため、このページでは詳細な説明は省略します。簡単に言うと、被写界深度を深くするには、 Q値の高い小さな絞りが必要となり、その結果、シャープネスが制限される場合があります。
Q値はImatestテストに直接関係するものではありませんが、レンズやシステムの設計、そしてImatestの解釈に影響を与えます。 結果。例：
フラットベッドスキャナー、バーコードリーダー、および一部の医療機器（内視鏡など）で使用されるカメラは、固定焦点レンズを使用し、広い被写界深度を必要とします。多くの場合、内蔵光源を備えています。小さな絞り（大きなF値）によりレンズに入る光量は比較的少ないですが、内蔵光源によって十分な照明が得られます。これらのシステムはQ値が高い傾向があります。焦点が合っている場合の期待されるシャープネスは、後述する写真用カメラよりもかなり低い可能性があります。
映画用カメラでは、背景をすっきりさせるために被写界深度を非常に狭くする必要がある場合が多い。これは、通常Q値が小さい大口径レンズ（大口径に設定されたレンズ）を使用することを意味する。
ほとんどの写真用カメラ（一般消費者向けカメラ）は、オートフォーカスまたはマニュアルフォーカスでピントを合わせられるレンズを備えており、鮮明な画像が得られることが期待されています。これには、大口径単焦点レンズ（通常f/2程度）を搭載した小型カメラや、絞りを調整できる大型カメラ（デジタル一眼レフやミラーレスカメラ）が含まれます。これらのカメラのQ値は2を大きく下回り、多くの場合1を下回ります。
我々は、画素サイズが0.7ミクロン、絞り値がf/2の1億800万画素カメラを検討してきた。f/2の絞り値は、小型（モバイル）カメラでは比較的よく見られ、多くの場合、回折限界性能である。絞り値を大きくする（f/値を小さくする）と、レンズ収差が支配的になるため、回折限界性能を達成することが難しくなる。このカメラのQ値は、0.555 × 2 / 0.7 = 1.59である。
画素サイズが大きくセンサーサイズも大きいカメラ（ミラーレスカメラや1インチ以上のセンサーを搭載したデジタル一眼レフカメラなど）のレンズは、最大絞り値で回折限界に達することは稀です。これらのレンズはQ値が低く、最大絞り値では通常1をはるかに下回りますが、大口径での収差により「最適絞り値」が存在し、通常は最大絞り値より約2段（F値の2倍）低い値で、その後徐々に回折限界性能に近づいていきます。
Qの影響を視覚化する
Qの影響は、空間単位をピクセルに、周波数単位をサイクル/ピクセル（C/P）に正規化することで視覚化できます。 ウィキペディアからのエアリーディスクの一般式は次のとおりです。
どこ
J 1は第一種ベッセル関数であり、MATLAB の besselj 関数で簡単に評価できます。Jacobson チュートリアルでは、二乗は省略されています。角度が小さいと仮定すると、ここで、 A = 2aは開口径、 fは焦点距離、 νは空間周波数 ( νは焦点距離fとの混同を避けるため)、 rは半径 (ディスクの中心からの距離) である。なお、 r/pはエアリーディスクの中心からの距離をピクセル単位で正規化したものです。
エアリーディスクのOTF（MTF = |OTF|）は
それ以外の場合は 0 となります。
改めて指摘すると、 ここで、 pνは空間周波数（サイクル/ピクセル）である。
以下に、 Qの関数としてのIエアリーとMTFをプロットした。
 |  |
ピントがずれている
ピントずれ（または焦点ずれ、焦点エラー）は画像をぼやけさせ、MTF値を低下させます。ピントずれは非常に大きなテーマなので、ここでは簡単に触れるにとどめます。
理想的な世界（回折やレンズ収差がない）では、焦点ずれによって光の点が単純な円盤として結像され、これを錯乱円と呼びます（ Wikipedia参照）。被写界深度（DoF）とは、被写体にピントが合っているように見える距離の範囲のことで、最大錯乱円を指定することで定義されます。最大錯乱円は、レンズの焦点距離とF値、被写体までの距離、そして最も重要なのはレンズの焦点位置という幾何学的要素の関数です。後者のパラメータ、つまりレンズの焦点位置は、しばしば誤差が生じます。
昔は、被写界深度（DoF）は、8×10インチのプリントで錯乱円が0.2mm未満になる被写体距離の範囲として定義されていました。この定義は、レンズが今日ほど性能が良くなかった（いくつかの例外を除いて）フィルムの時代には有用でした。大きな引き伸ばしは難しく、フィルム自体も平らにならず、位置がずれることがありました。レンズを絞り込む（F値を上げる）と被写界深度は深くなりますが、レンズがピントの合っている部分のシャープネスが犠牲になることがよくあります（回折現象による）。風景写真のように被写界深度が深い方が見栄えが良い用途もありますが、ポートレートや映画のように被写界深度が浅い方が見栄えが良い用途もあります（背景がごちゃごちゃして邪魔なものをぼかすことができるため）。前述のとおり、これは大きなテーマになり得ます。
固定焦点レンズ
ほとんどの一般消費者向けカメラにはオートフォーカス（またはフォーカス調整可能）レンズが搭載されていますが、最近では焦点が固定されているレンズにも遭遇しています。通常、焦点は無限遠または過焦点距離に固定されています。つまり、被写界深度の遠端（ 定義方法は様々ですが）が無限遠になるように焦点が合わせられているのです。これらのレンズは主に自動車業界や航空写真で使用されています。このようなレンズに遭遇した場合、限られた施設スペースで効果的にテストできるかどうかを判断する必要があります。
最初のステップは、指定されたテスト距離でのカメラの錯乱円直径cを決定することです。Wikipedia の表記法を使用すると、 f = 焦点距離、 A = 絞り径、 N = f 値 = f/A 、 S 1 = レンズから被写体までの距離、
例: ピクセルピッチが 3.76μm (0.00376mm) の航空カメラには、無限遠に焦点を合わせた 110mm f/4 レンズが搭載されています。これを 100 メートルで確実にテストできるかどうかを知りたいです。単位は mm です。
c = 110 2 / (4*(100000-110)) = 12100/(4*99890) = 0.0303mm = 30.3μm = 8.05ピクセル。
これは大きく見えるが、100メートルでどれほど悪いのかを判断するには、これをMTFの劣化と関連付ける必要がある。
[caption id="attachment_47901" align="alignright" width="400"]
デフォーカスのMTF
ジェイコブソンレンズのチュートリアルに戻って、MTF = |OTF| (位相を含む光伝達関数の絶対値) であることに注目すると、OTF の負の値は位相シフトを示します。
直径cの錯乱円、空間周波数ν ( cと互換性のある単位、つまりピクセルとサイクル/ピクセル) の場合
、
ここで、 J 1は第一種ベッセル関数であり、MATLAB の besselj 関数で簡単に計算できます。また、有用な近似式もあります。
J 1 ≅ sin(0.84 πcν )/(0.84 πcν ) から最初の null (0.84 πcν < π ) まで。
右側には、いくつかのcの値に対するMTFと空間周波数（サイクル/ピクセル）の関係が示されていますが、これには解釈が必要です。一般的な高品質レンズのMTF50は約0.3サイクル/ピクセル（これは非常に概算です）で、ナイキスト周波数（ f Nyq = 0.5 C/P）でのMTFは約10～30%です。MTF50が0.15未満の場合、劣悪な（または焦点ずれのある）レンズであることを示します。ナイキスト > 0.4でのMTFはシステムに対して少しシャープすぎる可能性があります。エイリアシング効果が顕著になる可能性があり、レンズはおそらく必要以上に高価です。この知識があれば、次のように言えます。
c = 0.5 は測定値に有意な影響を与えない。
c = 1 (MTF @ f Nyq = 0.72) はわずかな影響がありますが、ほとんどの場合、有意ではありません。
c = 2 (MTF @ f Nyq = 0.19) は測定値に多少影響しますが、非常にシャープなレンズの場合にのみ深刻な影響があります。
c > 2 は避けるべきである。
特定の錯乱円cに対する距離S1を求めるには、上記の式を逆算する必要があります。
例: 上記のカメラの場合、c = 2 ピクセル = 7.52μm = 0.00752mm の距離を求めたい場合、
S 1 = 110 + 110 2 /(4*0.00752) = 402371mm ≅ 402.4メートル。これは途方もなく大きいように思えます（そして私たちも驚きました）が、私たちのテストは計算が正しいことを裏付けています。
回折とミスフォーカスを組み合わせたOTFは、 Jacobsonレンズチュートリアルの10ページに記載されています。これは複雑な方程式です（回折とミスフォーカスのOTFの積ではありません）。ν = 空間周波数 = f sp 、 s = λNν 、 a = πνcで、単位は統一されています（つまり、 λの場合はf sp = ν （サイクル/mm）、 cはmm単位）。
チュートリアルでは、小さな開口部の場合の結果を示しています。